3) Methode von Aristarch(os)
Dreieckskonstruktion Sonne - Erde - Mond bei Halbmond.
2025-11-30
Die Astronomischen Einheit (\(AE\)) ist die mittlere Entfernung zwischen Erde und Sonne.
Aus den exakt messbaren synodischen Umlaufszeiten unserer Nachbarplaneten erhält man
Kennt man von keinem Objekt den Wert der großen Halbachse, so kennt man alle Abstände nur als Vielfache der Größe \(AE\).
Ausgewählte Möglichkeiten zur Messung einer absoluten Entfernung im Sonnensystem:
Die einfache und bekannte Methode der Parallaxenmessung liefert
brauchbare Ergebnisse nur dann, wenn man einen Körper vermisst, welcher
der Erde sehr nahe kommt.
Dazu peilt man von zwei verschiedenen (und möglichst weit
auseinanderliegenden) Orten der Erde aus einen Körper an.
Das gelingt z. B. recht gut bei dem Zwergplaneten Eros (1898 entdeckt, 1900-1901 in Opposition die Bahn präzise vermessen, 2000-2001 von Raumsonde besucht).
Der Abstand zur einem beliebigen Körper liefert uns bereits den Maßstab, der das ganze Sonnensystem “kalibriert”.
Hierbei handelt es sich um die modernste und genaueste Methode. Radarechos sind allerdings von der Sonne nicht zu messen. Besonders geeignet für solche Messungen ist unser Nachbarplanet Venus.
Dreieckskonstruktion Sonne - Erde - Mond bei Halbmond.
Entfernungsmessung durch Parallaxe.
Deren Bestimmung durch Venus-Ort auf der Sonne oder genauer
Durchlaufzeit.
Bild: Durchgang von 1769.
\[ \bbox[lightyellow,12px] { \begin{align} \frac{T_E^2}{T_P^2} = \frac{a_E^3}{a_P^3} \textrm{bzw.} \frac{T^2}{a^3} = C \end{align} } \]
Zwischen je zwei Körpern besteht eine (anziehende) Kraft, die nur von deren Massen und deren Abstand abhängt.
Gravitationskraft: \[ \bbox[lightyellow,12px, border: 2px solid orange] { F_G=G\cdot \frac{mM}{r^2} } \]
Wobei man m bzw. M für die kleinere bzw. größere Masse nimmt.
r ist der Abstand der Schwerpunkte (bei regelmäßigen Körpern: die
Mitte).
Daraus folgt die Gravitationsenergie (die allgemeine potentielle Energie im Gravitationsfeld) durch Integration der Kraft über den Weg. Wir lösen das ohne explizite Integration:
Ohne Integration zeigen wir hier die Plausibilität
über
Kraft = Ableitung der mech. Energie nach dem Weg
an Beispielen:
Spannenergie: \(E_{spann}=\frac{1}{2}Ds^2\), also \(F_{spann}=Ds\)
Höhenenergie: \(E_{höhe}=mgh\), also \(F_{höhe}=mg\)
Nun die Gravitationsenergie: \[ \bbox[lightyellow,12px, border: 2px solid orange] { E_{pot}=-\frac{GmM}{r} }\] ergibt abgeleitet nach r: \(\ \ F_G=\frac{GmM}{r^2}\)
Definition des Nullpunkts
Die potentielle Energie des kleineren Körpers im Feld des größeren mit r für den Abstand der Massenschwerpunkte (nicht der Oberflächen).
\[ \bbox[lightyellow,12px] { E_{pot}=-\frac{GmM}{r} } \]
Nun werden wir über v und die kinetische Energie die Gesamtenergie eines Körpers auf einer Keplerbahn herleiten:
Ansatz: Kräftegleichgewicht auf Kreisbahn mit Radius \(r\).
\[ \bbox[lightyellow,12px] { \begin{align} F_Z &= F_G && \text{| einsetzen}\\ {mv^2 \over r} &= {GMm \over r²} && \text{| auflösen, kürzen}\\ {v^2} &= {GM \over r} && \text{| radizieren}\\ {v} &= \sqrt{GM \over r} && \text{| }\\ \end{align} } \]
➜ Kreisbahn: 1. Kosmische Geschwindigkeit, Parameter, Newton, z.B. Erdumlaufbahn
A, B: Bei horizontalem Abschuss fällt ein Körper auf die Erdoberfläche zurück, wenn die Geschwindigkeit zu gering ist.
C: Mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit beschreibt der Körper eine Kreisbahn um die Erde und wird ein Satellit.
D: Bereits mit etwas höherer Geschwindigkeit wird eine ellipsenförmige Umlaufbahn erreicht.
\[ \bbox[lightyellow,12px] { \begin{align} F_Z &= F_G && \text{| wie oben}\\ {mv^2 \over r} &= {GMm \over r²} && \text{|} \cdot \frac r2 \\ E_{kin}={{1\over2}mv^2} &= {{1\over2}{GMm \over r} } \end{align} } \] \[\bbox[lightyellow,12px] { E_{ges}=E_{pot} + E_{kin} = {-{1 \over 2} {{GmM} \over {r}} } \mathtt{<0} }\]
Die Gesamtenergie ist ebenfalls konstant mit a (Große Halbachse bei Ellipsenbahn) statt r (Radius bei Kreisbahn), dann aber schwanken die beiden Energien periodisch mit konstanter Summe. Es ergeben sich vielen Rechenmöglichkeit für Perihel und Aphel, Übung…
\[ \bbox[lightyellow,12px, border: 2px solid orange] { E_{ges}= {-{1 \over 2} {{GmM} \over {a}} } }\]
Dies gilt nur für geschlossene Kurven,
also nicht für Kepler-Parabel oder -Hyperbel
Wenn die Gesamtenergie >= 0 ist, so entkommt der Körper dem
Schwerefeld!
(ergibt keine geschlossene Kurve, also weder K.-Ellipse noch
K.-Kreis).
Betrachte dazu a ➜ unendlich bei festem r in Epot:
Dann ergibt sich die 2. kosmische Geschwindigkeit oder auch Fluchtgeschwindigkeit aus Ekin - siehe Buch und Formelsammlung zu v(a,r) (v als Funktion von a und r).
Verbindung der beiden kreisähnlichen Umlaufbahnen (z.B. Erde zu Mars) durch eine halbe Ellipse.
1: Erdbahn
2: Ellipse der Hohmannbahn (nur eine Hälfte wird benutzt)
3: Bahn eines oberen Planeten
\[ \bbox[lightyellow,12px] { a_H= \frac {a_E+a_M}2 \textit{(reine Geometrie)} }\]
Idee: Bahn durch das Gravitationsfeld eines Planeten erhöht sich die Gesamtenergie des Sonde.
Funktionsweise: Die kurzfristige Kraftwirkung in der Nähe eines Planeten ist vergleichbar mit einem Abprallen in einem “Kraftfeld”. Dies führt zur Energieaufnahme, die rechnerisch aus der Bewegungsenergie des Planeten kommt (vergleiche Abprall an einem Tennisschläger).
Ablauf: Sonde begegnet nacheinander Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun (leider nicht exakt genug).
Siehe folgende Darstellungen:
Beachte die orange Kurve für die Fluchtgeschwindigkeit im Sonnengravitationsfeld.
Die blaue Linie gibt die jeweiligen Geschwindigkeiten der Sonde wieder. Die Peaks ergeben sich beim Swing-By-Manöver!
Für einen Körper auf einer Keplerbahn vorgegebener Masse um einen Zentralkörper vorgegebener Masse gilt:
Die Größe der große Halbachse legt
die konstante Gesamtenergie des Körpers
fest.
Der aktuelle Abstand zum Zentrum
legt
die aktuelle potentielle Energie
fest.
Die aktuelle kinetische Energie ergibt
sich aus
deren Differenz.
Eine Sonde (m=100kg) soll auf der Hohmannbahn von der Erdbahn zur
Jupiterbahn fliegen. \(r_E\)=1AE, \(T_E\)=1a,
\(r_J\)=5,20AE, \(T_J\)=11,86a
\(G=\small{6,67\cdot10^{-11}}\) \(\quad \small\frac{m^3}{kg\,s^2}\)
\(M=\small {1,99\cdot10^{30}kg}\)
\[ \bbox[lightyellow,12px] { v(r,a)= \sqrt{ G\cdot M \cdot \left( \frac2r - \frac1a \right) } \quad \text{(➜FS)} }\]
Stichworte:
Begriff: “gebundene Rotation”
Beispiele:
Details: Lehrbuch, Formelsammlung
Sonne➜innere➜Asteroidengürtel➜äußere➜Kuipergürtel➜Oortsche Wolke
A "dwarf planet" is a celestial body that
- is in orbit around the Sun,
- has sufficient mass for its self-gravity to overcome rigid body forces so that it assumes a hydrostatic equilibrium (nearly round) shape,
- has not cleared the neighbourhood around its orbit, and
- is not a satellite.
Ein Planet unterscheidet sich von einem Zwergplaneten in der Definition nur im Punkt c. ! Dahinter verbirgt sich natürlich eine größere Masse…
Kuiper Belt Objects
a = 30 – 50 AE
bis 1992 als einziges Objekt Pluto (1930) bekannt
hundertausende Objekte?
Eris ist sogar noch größer als Pluto
vermutlich stammen die kurzperiodischen Kometen aus diesem Gürtel.
Objekte bewegen sich in der Nähe der Ekliptikebene
Pluto hat neben zwei sehr kleinen einen sehr großen Mond: Pluto-Charon-Doppelplanet. Gebundene Rotation!
Komet Sedna umläuft die Sonne (T = 11000 a, Perihel 76 AE (10 Lichtstunden), Aphel 900 AE (5 Lichttage).
Vergleich einiger Monde im Sonnen- system
Flut auf mondzugewandter und -abgewandter Seite.
Wegen Erdrotation \(T \approx 12
h\)
Auch die Sonne verursacht Gezeiten, aber schwächer (unauffälliger) als der Mond.
Die Addition der beiden Wirkungen ergibt das Spektrum von Springflut bis Nipptide.
(Totale) Sonnenfinsternis:
Der (Kern)-Schatten des Mondes fällt auf die Erde.
Reihenaufnahme einer partiellen Sonnenfinsternis
Sonne und Mond bewegen sich gleichzeitig am Himmel, aber mit unterschiedlichen Winkelgeschwindigkeiten.
(Totale) Mondfinsternis:
Der Mond bewegt sich (komplett) in den Schatten der Erde.
Nicht “total” heißt dann “partiell”.
Ausführlicher, aber m.M.n. unübersichtlicher: vermutetes Original (im Webarchiv).
Sch, CC BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Venus_parallax_during_the_1769_transit_de.png↩︎
Stw, CC BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Kepler-second-law.svg↩︎
C. Bienmüller, CC BY-NC-SA, selbst erstellt↩︎
Randall Munroe, pauschale Erlaubnis für nichtkommerzielle Nutzung, https://xkcd.com/681↩︎
Brian Brondel, CC BY-SA, https://en.wikipedia.org/wiki/File:Newton_Cannon.svg↩︎
C. Bienmüller, CC BY-NC-SA, selbst erstellt↩︎
Waterced, CC-BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hohmann_transfer_orbit2.svg↩︎
unbekannt, Public Domain↩︎
Phoenix7777, CC-BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_of_Voyager_2_trajectory.gif↩︎
Dradler, CC-BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Voyager_2_Heliocentric_Velocity.png↩︎
Mehrere Bearbeiter, eigentliche Basis ist Public Domain, siehe https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Asteroid_Belt-de.svg↩︎
NASA, Public Domain, https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Moons_of_solar_system_v7.jpg↩︎
Horst Frank und Nethac DIU, CC-BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mond_Grafik.svg↩︎
C. Bienmüller, CC BY-NC-SA, selbst erstellt↩︎
Herbert Bolz, CC-BY, https://de.wikipedia.org/wiki/Springtide#/media/Datei:Gezeiten.jpg↩︎
Sagredo, public domain, https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Geometry_of_a_Total_Solar_Eclipse.svg↩︎
unbekannt, public domain, https://pxhere.com/de/photo/894108↩︎
Sagredo, public domain, https://de.m.wikipedia.org/wiki/Datei:Geometry_of_a_Lunar_Eclipse.svg↩︎
Thomas Gebhardt, mit freundlicher Erlaubnis, https://www.zum.de/Faecher/Materialien/gebhardt/astronomie/finsternis/finsternis.html↩︎
