2.2. Das Gravitationsgesetz und die Kepler-Gesetze

3 Keplergesetze

K1

Planetenbahn liegt auf einer Ellipse.
Die Sonne liegt in einem Brennpunkt.

K2

Der Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeitabschnitten gleiche Flächen.

Gravitationsgesetz

Zwischen je zwei Körpern besteht eine (anziehende) Kraft, die nur von deren Massen und deren Abstand abhängt.

Gravitationskraft: \[ \bbox[lightyellow,12px, border: 2px solid orange] { F_G=G\cdot \frac{mM}{r^2} } \]

Wobei man m bzw. M für die kleinere bzw. größere Masse nimmt.
r ist der Abstand der Schwerpunkte (bei regelmäßigen Körpern: die Mitte).

Daraus folgt die Gravitationsenergie (die allgemeine potentielle Energie im Gravitationsfeld) durch Integration der Kraft über den Weg. Wir lösen das ohne explizite Integration:

Gravitationsenergie

Ohne Integration zeigen wir hier die Plausibilität über
Kraft = Ableitung der mech. Energie nach dem Weg
an Beispielen:

• Spannenergie: \(E_{spann}=\frac{1}{2}Ds^2\), also \(F_{spann}=Ds\)

• Höhenenergie: \(E_{höhe}=mgh\), also \(F_{höhe}=mg\)

• Nun die Gravitationsenergie: \[ \bbox[lightyellow,12px, border: 2px solid orange] { E_{pot}=-\frac{GmM}{r} }\] ergibt abgeleitet nach r: \(\ \ F_G=\frac{GmM}{r^2}\)

• Definition des Nullpunkts

Christian Bienmüller