2.3. Bewegungen im Gravitationsfeld im Detail

2026-09-06

Dieser etwas mathematischere Abschnitt behandelt die Gravitationsenergie und die kinetische Energie.

Energie im Gravitationsfeld

Die potentielle Energie des kleineren Körpers im Feld des größeren mit r für den Abstand der Massenschwerpunkte (nicht der Oberflächen).

\[ \bbox[lightyellow,12px] { E_{pot}=-\frac{GmM}{r} } \]

Nun werden wir über v und die kinetische Energie die Gesamtenergie eines Körpers auf einer Keplerbahn herleiten:

Herleitung v auf Kepler-Kreisbahn

Ansatz: Kräftegleichgewicht auf Kreisbahn mit Radius \(r\).

\[ \bbox[lightyellow,12px] { \begin{align} F_Z &= F_G && \text{| einsetzen}\\ {mv^2 \over r} &= {GMm \over r²} && \text{| auflösen, kürzen}\\ {v^2} &= {GM \over r} && \text{| radizieren}\\ {v} &= \sqrt{GM \over r} && \text{| }\\ \end{align} } \]

➜ Kreisbahn: 1. Kosmische Geschwindigkeit, Parameter, Newton, z.B. Erdumlaufbahn

wikipedia

A, B: Bei horizontalem Abschuss fällt ein Körper auf die Erdoberfläche zurück, wenn die Geschwindigkeit zu gering ist.

C: Mit der 1. kosmischen Geschwindigkeit beschreibt der Körper eine Kreisbahn um die Erde und wird ein Satellit.

D: Bereits mit etwas höherer Geschwindigkeit wird eine ellipsenförmige Umlaufbahn erreicht.

E: Mit der 2. kosmischen Geschwindigkeit (“Fluchtgeschwindigkeit”) öffnet sich die Bahn zu einer Keplerparabel (E) (s.u.).

E: Mit der 2. kosmischen Geschwindigkeit (“Fluchtgeschwindigkeit”) öffnet sich die Bahn zu einer Keplerparabel (E) (s.u.).

Herleitung Ekin und Eges auf Kepler-Kreisbahn

Entweder obige Kreisbahngeschwindigkeit in \(E_{kin}=\tfrac{1}{2} mv^2\) einsetzen oder schon früher geschickt umformen:

\[ \bbox[lightyellow,12px] { \begin{align} F_Z &= F_G && \text{| wie oben}\\ {mv^2 \over r} &= {GMm \over r²} && \text{|} \cdot \frac r2 \\ E_{kin}={{1\over2}mv^2} &= {{1\over2}{GMm \over r} } \end{align} } \] \[\bbox[lightyellow,12px] { E_{ges}=E_{pot} + E_{kin} = {-{1 \over 2} {{GmM} \over {r}} } \mathtt{<0} }\]

Gesamtenergie auf einer Kepler-Ellipsenbahn

Die Gesamtenergie ist ebenfalls konstant mit a (Große Halbachse bei Ellipsenbahn) statt r (Radius bei Kreisbahn), dann aber schwanken die beiden Energien periodisch mit konstanter Summe. Es ergeben sich vielen Rechenmöglichkeit für Perihel und Aphel, Übung…

\[ \bbox[lightyellow,12px, border: 2px solid orange] { E_{ges}= {-{1 \over 2} {{GmM} \over {a}} } }\]

BieC

Dies gilt nur für geschlossene Kurven,
also nicht für Kepler-Parabel oder -Hyperbel

Fluchtgeschwindigkeit

Wenn die Gesamtenergie >= 0 ist, so entkommt der Körper dem Schwerefeld!
(ergibt keine geschlossene Kurve, also weder K.-Ellipse noch K.-Kreis).

Betrachte dazu a ➜ unendlich bei festem r in Epot:

Dann ergibt sich die 2. kosmische Geschwindigkeit oder auch Fluchtgeschwindigkeit aus Ekin - siehe Buch und Formelsammlung zu v(a,r) (v als Funktion von a und r).

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  1. Brian Brondel, CC BY-SA, https://en.wikipedia.org/wiki/File:Newton_Cannon.svg↩︎

  2. C. Bienmüller, CC BY-NC-SA, selbst erstellt↩︎