2.4. Reisen auf der Hohmann-Bahn, Swing-By-Effekt

2026-09-06

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Möglichkeit mit relativ geringem Energieaufwand zu anderen Planeten oder Objekten zu kommen.

a) Energiearmer Transfer zwischen Planetenbahnen

Verbindung der beiden kreisähnlichen Umlaufbahnen (z.B. Erde zu Mars) durch eine halbe Ellipse.

1: Erdbahn
2: Ellipse der Hohmannbahn (nur eine Hälfte wird benutzt)
3: Bahn eines oberen Planeten

\[ \bbox[lightyellow,12px] { a_H= \frac {a_E+a_M}2 \textit{(reine Geometrie)} }\]

Typische Aufgaben

Berechne \(t_H= \frac12T_H\)
Aussagen zu Bahngeschwindigkeiten und Energieaufwand.

Beispiel mit Manövern (nicht rein Hohmann):

b) Swing-by am Bsp. von Voyager 2

Idee: Bahn durch das Gravitationsfeld eines Planeten erhöht sich die Gesamtenergie des Sonde.

Funktionsweise: Die kurzfristige Kraftwirkung in der Nähe eines Planeten ist vergleichbar mit einem Abprallen in einem “Kraftfeld”. Dies führt zur Energieaufnahme, die rechnerisch aus der Bewegungsenergie des Planeten kommt (vergleiche Abprall an einem Tennisschläger).

Ablauf: Sonde begegnet nacheinander Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun (leider nicht exakt genug).

Siehe folgende Darstellungen:

Voyagerbahn

Voyager-Geschwindigkeit

Beachte die orange Kurve für die Fluchtgeschwindigkeit im Sonnengravitationsfeld.

Die blaue Linie gibt die jeweiligen Geschwindigkeiten der Sonde wieder. Die Peaks ergeben sich beim Swing-By-Manöver!

Merke

Für einen Körper auf einer Keplerbahn vorgegebener Masse um einen Zentralkörper vorgegebener Masse gilt:

Die Größe der große Halbachse legt
die konstante Gesamtenergie des Körpers fest.
Der aktuelle Abstand zum Zentrum legt
die aktuelle potentielle Energie fest.
Die aktuelle kinetische Energie ergibt sich aus
deren Differenz.

Übung zur Energie

Eine Sonde (m=100kg) soll auf der Hohmannbahn von der Erdbahn zur Jupiterbahn fliegen. \(r_E\)=1AE, \(T_E\)=1a,
\(r_J\)=5,20AE, \(T_J\)=11,86a
\(G=\small{6,67\cdot10^{-11}}\) \(\quad \small\frac{m^3}{kg\,s^2}\)
\(M=\small {1,99\cdot10^{30}kg}\)

Berechne \(a_H\) und \(T_H\) der Hohmann-Ellipse.
Berechne die Bahngeschindigkeiten der Planeten: \(v_E\) und \(v_J\).
Berechne nun \(v_{\small{Perihel}}\) und \(v_{\small{Aphel}}\) auf der Hohmann-Ellipse.

\[ \bbox[lightyellow,12px] { v(r,a)= \sqrt{ G\cdot M \cdot \left( \frac2r - \frac1a \right) } \quad \text{(➜FS)} }\]

Berechne \(\Delta E\) für die 2 Beschleunigungsvorgänge.
Schätze den Energiebedarf (Benzin: 47 MJ/kg) ab.

\[ \bbox[#EFE,12px] { \begin{align} a_H = \small{\frac{1+5,2}2 AE } & = 3,1 AE \quad\Rightarrow\quad T_H = \small \sqrt{3,1^3\: a}\normalsize &&\approx 5,46 a \\ v_E = \small{v(1AE,1AE)} &= \small\sqrt{ G M \cdot \left( \frac2{1AE} - \frac1{1AE} \right) } &&\approx 29,7 \frac{km}s \\ v_J = \small{v(5,2AE,5,2AE)} &= \small\sqrt{ GM \cdot \left( \frac2{5,2AE} - \frac1{5,2AE} \right) } &&\approx 13,0 \frac{km}s \\ v_{\small{Perihel}}= \small{v(1AE,3,1AE)} &= \small\sqrt{ GM \cdot \left( \frac2{1AE} - \frac1{3,1AE} \right) } && \approx 38,5 \frac{km}s \\ v_{\small{Aphel}}= \small{v(5,2AE,3,1AE)} &= \small\sqrt{ GM \cdot \left( \frac2{5,2AE} - \frac1{3,1AE} \right) } && \approx 7,4 \frac{km}s \\ \Delta E = E_{nach} -E_{vor}&= \small{\frac12} m \left( v_{nach}^2 - v_{vor}^2 \right) = \dots \\ \scriptsize\text{30,0 GJ + 5,7 GJ} &\approx \scriptsize\text{ 765 kg Benzin...} \end{align} }\]

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Waterced, CC-BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Hohmann_transfer_orbit2.svg ↩︎
unbekannt, Public Domain↩︎
Phoenix7777, CC-BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Animation_of_Voyager_2_trajectory.gif ↩︎
Dradler, CC-BY-SA, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Voyager_2_Heliocentric_Velocity.png ↩︎