4.3. Sternhelligkeiten

2026-09-06

Abstract
Wir betrachten die scheinbare Helligkeit und die absolute Helligkeit eines Stern und deren Zusammenhang.

Die scheinbare Helligkeit m

(= mag = magnitudo) eines Sterns beschreibt die Helligkeit, mit der er uns am Himmel erscheint. (m nicht mit der Masse m verwechseln!!!)

Griechische Astronomen der Antike (Hipparch von Nikaia, um 150 v.Chr.) führten eine Einteilung der Sterne in 6 Größenklassen ein. Diese sog. "Größe" hat nichts mit der geometrischen Ausdehnung des Sterns zu tun.

Die hellsten Sterne nannte man "Sterne 1. Größe", die schwächsten mit bloßem Auge gerade noch sichtbaren Sterne hießen "Sterne 6. Größe".

Unsere heutige exakte Definition der “Größenklassen” von Sternen stammt aus der Mitte des 19. Jahrhunderts. Sie gibt immer noch seine scheinbare Helligkeit am Himmel an und hat nichts mit seiner geometrischen Größe zu tun - beruht jetzt aber auf physikalischen Strahlungs-Messungen und lässt deshalb auch dezimale Zwischenwerte zu. Sie wurde absichtlich so gewählt, dass die antiken Werte möglichst wenig verändert werden mussten.

Sinnesreize

Dazu müssen wir aber zuerst den Zusammenhang zwischen einem physikalischen Reiz und dem menschlichen Sinneseindruck betrachten:

Bekanntlich nehmen wir z.B. Lautstärken oder Tonhöhen logarithmisch wahr:

Die Lautsprecherleistungen 100W – 200W – 400W – 800W – 1600W - … empfinden wir als jeweils um gleiche Stufen ansteigend.

Die Tonhöhen 110Hz – 220Hz – 440Hz – 880Hz – 1760Hz - … empfinden wir als jeweils um 1 Oktave ansteigend.

Psychophysisches Grundgesetz

… von Weber und Fechner (1859) beschreibt den Zusammenhang mit S für den Sinneseindruck und R für den physikalischen Reiz:

\[ \bbox[lightyellow,12px,border: 2px solid #4d94ff] { S_1-S_2=C\ \mathrm{lg} \frac{R_1}{R_2} } \]

Tipp: \(\mathrm{lg}\) ist der Zehnerlogarithmus. Eine andere Basis würde jedoch nur die Konstante C verändern…

Wahrnehmung von Sternhelligkeiten

Zwischen den menschlichen Sinneseindrücken (hier: Empfinden von Helligkeiten → m) und der physikalisch zugrundeliegenden Größe (hier: ankommende Strahlungsleistung pro Flächeneinheit → E) besteht also ein exponentieller bzw. logarithmischer Zusammenhang.

D.h. ein Vervielfachen der Bestrahlungsstärke um einen bestimmten Faktor bewirkt eine Zunahme des Helligkeitseindrucks um eine additive Konstante.

Merke: Da nach der griechischen Definition die Sterne mit einem kleinen Zahlenwert für m die helleren sind, gilt:

\[ \bbox[lightyellow,12px] { \begin{align} E_1 > E_2 ~\Leftrightarrow~ m_1 < m_2 \end{align} }\]

Herleitung

Messungen ergaben, dass uns von den Sternen 1. Größe nach der antiken Skala circa 100mal soviel Licht wie von einem Stern 6. Größe erreicht. Deshalb hat man festgelegt:

Zwei Sterne, deren Bestrahlungsstärken sich wie
100 : 1
verhalten, sollen sich um 5 Größenklassen unterscheiden.

Damit ergibt sich mit einem allgemeinen Ansatz mit einer Unbekannten C folgende Herleitung durch Einsetzen:

\[ \bbox[lightyellow,12px] { \begin{align} m_1-m_2 &=C\cdot lg \frac{E_1}{E_2}\\ -5 &= C\cdot lg100\\ -5 &= C\cdot 2\\ -2,5&=C \end{align} }\]

Allgemein gilt nun für die zwei Magnituden der Zusammenhang mit dem Verhältnis ihrer Lichtintensitäten (z.B. in W/m²):

\[ \bbox[lightyellow,12px,border: 2px solid #4d94ff] { \Delta m = m_1-m_2=-2,5\cdot lg\frac{E_1}{E_2} }\]

Diese Formel sagt bis jetzt nur etwas über Helligkeitsverhältnisse zwischen 2 Sternen. Jetzt müsste noch die scheinbare Helligkeit eines Sterns per Definition festgelegt werden. Zur Erhöhung der Genauigkeit hat man jedoch eine ganze Reihe von Sternen, die sog. "Polsequenz", ausgewählt, deren Helligkeiten in den 1960er Jahren exakt bestimmt wurden.

Für die praktische Anwendung der Formel benötigt man stets die Werte eines Vergleichssterns. Trotz ihres negativen m-Wertes verwendet man zu diesem Zweck häufig die Sonne (mSo = - 26,8; ESo = 1367 W/m2)

Beispiele

…scheinbarer Helligkeiten m von Objekten, die mit bloßem Auge gesehen werden:

Andromeda-Nebel 5   
 Sirius (hellster Fixstern) -1,58
Polarstern 2,12 Venus (max.) -4,30
Aldebaran 1,06 Vollmond -12,50
Wega 0,04 Sonne im Zenit -26,8

Merke

m<0 0<=m<=6 m>6
Helle Objekte, Mond, Sonne, Meteore Sterne, Galaxien mit bloßem Auge sichtbar Nur mit optischen Instrumenten (Teleskop, Fotoapparat) sichtbar

Beispiel:

Nochmal zum Einprägen:

\[ \begin{align} \small{\textrm{Verhältnis der Bestrahlungsstärken}} &\Leftrightarrow \small{\textrm{Größenklassendifferenz}} \\ \\ 1: 10 &\Leftrightarrow ∆m = 2,5 \\ 1: 100 &\Leftrightarrow ∆m = 5,0 \\ 1: 1000 &\Leftrightarrow ∆m = 7,5 \end{align} \]

Lichtschwächste Objekte, die fotografisch erfasst werden:
31mag (Hubble), 34mag James Webb im IR, ca. 28mag terrestrisch (VLT). Also eine Bandbreite von mindestens 60 Größenklassen!
(32 ohne Objekte im Sonnensystem). Dies entspricht einem Verhältnis der Bestrahlungsstärken von 1024 : 1 bzw. 1013 : 1 (immer noch 10 Billionen zu 1)!
Exponenten berechnen über \(\frac{60}{2,5}=24 \quad\text{ bzw. }\quad\frac{32}{2,5}\approx13\))

Die absolute (= wahre) Helligkeit M

eines Sterns ist die Größenklasse/magnitude (=scheinbare Helligkeit), mit der er uns am Himmel erscheinen würde, wenn wir ihn aus einer Entfernung von 10 pc beobachten würden.

Da die „absolute Helligkeit” eines Stern bereits durch seine Leuchtkraft L (in Watt) vollständig beschrieben wird, erscheint diese neue Größe als eigentlich völlig überflüssig. Sie wird aber trotzdem zusätzlich zur Leuchtkraft verwendet, da sie - genau wie m - logarithmisch ist und dadurch viel besser geeignet ist für Vergleiche mit der scheinbaren Helligkeit m.

Eine Herleitung wäre möglich mit:

Ergebnis, auch ohne Herleitung:

\[ \bbox[lightyellow,12px,border: 2px solid #4d94ff ] { m-M=5\cdot lg\Big(\frac{r}{10pc} \Big) }\]

Den Ausdruck “m - M”, der eine wesentliche Aussage über die Entfernung eines Sterns beinhaltet, nennt man den Entfernungsmodul.

M ist also bei den meisten Sternen (die ja weiter entfernt sind als 10 pc) eine kleinere Zahl als m, da der Stern in 10 pc Abstand heller erscheinen würde, als er es jetzt tatsächlich tut.
M > m gilt entsprechend für Sterne mit einem Abstand r < 10 pc.

Aufgaben

1) Berechnen Sie das Verhältnis der Bestrahlungsstärken E von Venus (max.) und Vollmond!

2) Wie groß ist ∆m im Falle E1 = 2 · E2 ?

3) Welche Bestrahlungsstärke erzeugt Sirius auf der Erde?

4) Berechnen Sie die wahre Helligkeit von Wega aus m = 0,04 und p = 0,123".

5) Berechnen Sie die wahre Helligkeit der Sonne aus m = - 26,8 und r = 1 AE!

6) Wie verhalten sich die Leuchtkräfte von Sonne und Sirius (MSi = 1,28; MSo = 4,8)?